2. Обобщённое кеплерово движение

            С открытием аномального смещения перигелия Меркурия стало ясно, что движение планет не является в точности кеплеровым – планеты движутся не по эллипсам, а по вращающимся эллипсам. После того как были отвергнуты многие гипотезы, целью которых было объяснить аномальное смещение сохраняя закон всемирного тяготения, пришло понимание, что закон всемирного тяготения Ньютона, основанный на законах Кеплера, все-таки неточен и требует обновления. Однако эта задача не была решена до сих пор. Мы рассмотрим здесь обобщение и уточнение законов Кеплера-Ньютона.

1. Уравнение траектории движения

            Уравнение траектории есть уравнение некоторой линии, т.е. должно связывать пространственные координаты и не должно содержать времени. Для центрально симметричного поля тяготения естественной является сферическая система координат (rθφ), которая для плоского движения редуцируется до полярной системы координат (rφ) в плоскости движения. В полярной системе координат можно надеяться получить уравнение траектории в наиболее простом и естественном виде.

            В качестве «центра кристаллизации» будущего уравнения траектории выберем следующую систему, казалось бы, пустых тождеств:

 

(1.1)

которые, тем не менее, могут рассматриваться как дифференциальные уравнения, подразумевая, что входящие в них производные есть известные функции координат, и которые позволяют сразу записать уравнение траектории в самом общем виде, в виде некоторого каркаса, требующего наполнения и дальнейшей детализации.

Исключая время,

сведём систему к дифференциальному уравнению

 

(1.2)

Если удастся радиальную и угловую скорости,  и , представить функциями от r, то уравнение приведётся к уравнению с разделяющимися переменными, и может быть легко проинтегрировано:

 

(1.3)

что даст нам уравнение траектории в виде φ(r), и неявно как r(φ).

            Таким образом, задача сводится к тому, чтобы:

1.      Представить  и  функциями от r :  и .

2.      Взять интеграл φ.

3.      Решить полученное уравнение, φ = φ(r), относительно r, чтобы получить уравнение r = r(φ).

            Обратимся теперь к исполнению этого плана.

            Найдем представление скорости тела в полярных координатах через радиальную и угловую скорости,  и , которое пригодится там в дальнейшем. Разложим для этого скорость тела по радиальному и тангенциальному, т.е. нормальному к радиальному, направлениям. В векторном виде это запишется как

В скалярном виде, для модулей скорости, этому разложению соответствует равенство

 

(1.4)

Здесь радиальная составляющая скорости есть скорость изменения координаты r:

 

(1.5)

Найдём аналогичное выражение для тангенциальной составляющей скорости, т.е. её выражение через угловую скорость . Длина дуги радиуса r равна

s = r φ.

Соответственно, приращение расстояния по дуге будет равно

ds = r ,

а скорость по касательной к дуге, т.е. тангенциальная составляющая скорости, равна

 

(1.6)

Подставляя выражения (1.5) и (1.6) в равенство (1.4) получаем для скорости в полярных координатах представление

 

(1.7)

            Для того чтобы найти представление угловой скорости  как функции от r, воспользуемся законом сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса, или кинетического момента, в векторном виде записывается как

Направление вектора момента импульса  определяется радиус-вектором  и вектором скорости , которые в совокупности задают плоскость, в которой происходит движение, т.е. плоскость траектории. Направление вектора момента постоянно и нормально к плоскости траектории. Поэтому закон сохранения момента импульса можно записать и в скалярном виде (помня о постоянстве направления):

Здесь α – угол между радиус-вектором  и направлением скорости тела . Произведение v sinα представляет собой проекцию скорости  на тангенциальное направление, или, по-другому, скорость в тангенциальном направлении:

С моментом импульса сохраняется и удельный момент импульса, или момент скорости:

Подставив сюда вместо  выражение из равенства (1.6), получим для удельного момента импульса, или момента скорости, в полярных координатах представление

 

(1.8)

откуда получаем искомое представление угловой скорости  как функции от r:

 

(1.9)

            Для нахождения аналогичного представления для радиальной скорости , воспользуемся теперь равенством (1.7),

Заменив в нём  выражением из равенства (1.9), получим уравнение не содержащее φ:

из которого получаем представление радиальной скорости  как функции от r:

 

(1.10)

в котором, однако, функция скорости v²(r) ещё не определена.

            Установим теперь общий вид функции скорости. Поле тяготения должно допускать устойчивые ограниченные траектории – планетарные орбиты. Движение планет происходит в ограниченной области, между минимальным и максимальным расстоянием от центра тяготения. Минимальное и максимальное расстояния планетарных орбит Солнечной системы называются перигелием и афелием орбиты (и перицентром и апоцентром в общем случае произвольного центрального тела), обозначим их как p и a.

            При достижении границ указанной области радиальная составляющая скорости становится равной нулю. Приравняв радиальную скорость к нулю, получим уравнение относительно r, корнями которого являются a и p – афелий и перигелий траектории:

 

(1.11)

Предположим, что функция

является многочленом от r. Наличие у многочлена корней a и p означает, что он делится на (a – r) и (r – p), и имеет представление:

 

(1.12)

где w – некоторый многочлен. Из этого равенства получаем для орбитальной скорости уравнение:

 

(1.13)

 

(1.14)

Взяв значение квадрата скорости (1.14) на бесконечно большом расстоянии от центра тяготения, r, предполагая, что значение w в r остаётся конечным, получим:

 

(1.15)

То есть, многочлен –w есть константа, квадрат остаточной скорости.

            Выяснив общий вид функции скорости, мы получаем теперь искомое представление радиальной скорости  как функции от r:

            Итак, искомые представления угловой и радиальной скорости как функций от r найдены:

 

(1.16)

 

(1.17)

и могут быть подставлены в интеграл (1.3):

Вынеся константы L и  из-под знака интеграла и раскрыв скобки, получаем уравнение траектории в виде интеграла:

 

(1.18)

            Интеграл (1.18) табличный. В книге «Двайт Г. Б. Таблицы интегралов» находим:

380.111

Откуда следует:

где С – произвольная константа, которую мы для простоты положим равной нулю. Отсюда для интеграла (1.18) получаем следующий результат:

 

(1.19)

            Итак, мы получили искомое уравнение траектории, но пока только как функцию φ (r). Для нахождения уравнения траектории движения как функции r (φ) следует решить уравнение (1.19) относительно r. Введём обозначение:

 

(1.20)

тогда уравнение (1.19) запишется как

 

(1.21)

Решая его:

получаем уравнение траектории, для эллиптической скорости, в виде:

 

(1.22)

Разделив числитель и знаменатель на выражение (a + p), и введя обозначения:

 

(1.23)

получаем уравнение траектории, общее для всех видов скоростей:

 

(1.24)

которое может быть записано и в виде с ненулевой начальной фазой:

 

(1.25)

            Уравнение (1.24) представляет собой общее уравнение конического сечения в полярных координатах (r, ) (рис. 3). Величины e и f  называются эксцентриситетом и фокальным параметром конического сечения, соответственно, и связаны через a или p соотношениями:

 

f = a(1 – e) = p(1 + e).

(1.26)

Рис. 3. Семейство конических сечений, имеющих общий фокальный параметр, но разные эксцентриситеты: 0,2056360,45; 1; 1,5.

            В координатах (r, φ), в общем случае, когда i ≠ 1, уравнение (1.24) конечно уже не является уравнением конического сечения, а является уравнением движения по вращающемуся коническому сечению (рис. 4 - 8). В случае вращающегося эллипса кривая не замыкается на себя после первого оборота, а образует новые «лепестки», аналогично известной плоской кривой «роза». При каждом обороте аргумента φ новая петля кривой оказывается повёрнутой относительно предыдущей петли на некоторый угол Δφ, зависящий от параметра смещения i. В координатах (r, φ), так же как и в координатах (r, ), где кривая представляет собой истинное коническое сечение, эксцентриситет e отвечает за вид траектории:

  1. e < 1 – эллиптическая траектория,
  2. e = 1 – параболическая траектория,
  3. e > 1 – гиперболическая траектория.

Примечание. Определения: эллиптическая, параболическая и гиперболическая, мы используем здесь в следующем обобщённом смысле. Они проистекают не из формы траектории, а из вида скорости. Например, параболическая скорость – есть скорость, гиперболический избыток которой (т.е. остаточная скорость, v) равен нулю. Соответствующие траектории мы так же называем параболическими, хотя по форме они, в общем случае, не будут параболическими. Скорости меньшие параболической есть эллиптические скорости, а большие параболической – гиперболические. Эти названия переносятся и на соответствующие траектории. При значении параметра смещения i близком к единице, форма траектории (или одного «лепестка» траектории) будет соответствовать названию.

            Таким образом, мы получили уравнение траектории, почти в точности совпадающее с уравнением траектории в классической теории тяготения – уравнением конического сечения в полярных координатах (r, φ) – с тем отличием, что угловой аргумент в нашем уравнении имеет множитель i ответственный за смещение перигелия траектории.

            Заметим, что, поскольку синус и косинус есть одинаковые по форме функции отличающиеся начальной фазой, а изменение знака этих функций также равносильно изменению начальной фазы, то уравнение (1.24) может быть записано в разных вариантах, отличающихся начальной фазой – тем, какая точка кривой является начальной, точкой (r(0), 0):

 

(1.27)

Укажем для них начальные точки:

1.      + e cos(iφ) – перигелий, (p, 0);

2.      + e sin(iφ) – «левый» фокальный параметр, (f, 0). Перигелий в точке (p, ~π/2);

3.      e cos(iφ) – афелий, (a, 0). Перигелий в точке (p, ~π);

4.      e sin(iφ) – «правый» фокальный параметр, (f, 0). Перигелий в точке (p, ~3π/2).

* * *

            Итак, нами доказано следующее утверждение:

         Устойчивое движение в центральном поле тяготения в общем случае происходит по вращающемуся коническому сечению.

            Такое движение мы назовём обобщённым кеплеровым движением.

2. Период обращения

            Мы привыкли считать, что период обращения есть время совершения полного оборота вокруг некоторого центра. Но такая периодичность есть лишь частный случай более общего представления. В широком смысле периодичность есть повторяемость чего-либо. Повторяемость может быть как во времени, так и в пространстве. В случае стационарных орбит, повторяемость в пространстве, очевидно, отсутствует – один и тот же эллипс «рисуется» снова и снова – имеется повторяемость только во времени.

            Если орбита смещается, то возникает повторяемость и в пространстве – траектория в этом случае состоит из повторяющихся частей – петель. В этом случае период обращения не есть время полного оборота, хотя это время тоже можно найти, но есть время прохождения одной петли, т.е. время, за которое проходится повторяющийся участок траектории, например, участок от афелия до перигелия и обратно до афелия (или, наоборот, от перигелия до афелия и вновь до перигелия).

            Обратимся к вычислению периода обращения. Начнём с равенства

 

(2.1)

Из него получаем:

 

(2.2)

 

(2.3)

Подставив в равенство (2.3) выражение для производной

получаем для времени интеграл

 

(2.4)

Откуда для периода обращения получаем интеграл

 

(2.5)

            Для нахождения этого интеграла обратимся к таблицам: «Двайт Г. Б. Таблицы интегралов». В них находим:

380.001

380.011

Откуда получаем

После преобразований

получаем для периода обращения формулу

 

(2.6)

3. Смещение перицентра

            В классической теории тяготения Ньютона, в идеальном случае кеплерова движения, когда в центрально симметричном поле тяготения движется единственная материальная точка, движение происходит по коническому сечению (эллипсу, параболе или гиперболе), остающемуся неподвижным в пространстве (в невращающейся, относительно звёзд, системе отсчёта связанной с центром тяготения). Отклонения движения от идеального в теории тяготения Ньютона связаны лишь с неидеальностью реальных полей и тел. Например, эллиптические орбиты планет Солнечной системы медленно вращаются в плоскости траектории вокруг центра тяготения. Причиной этого вращения являются возмущения вносимые другими планетами в поле тяготения Солнца. Ньютон называл смещение эллиптических орбит смещением линии апсид (т.е. линии, соединяющей две экстремальные точки эллиптической орбиты, например, перигелий и афелий в случае околосолнечной орбиты). Обычно говорят о смещении перигелия, или смещении перицентра в общем случае.

            Говоря о вращении эллиптических орбит в плоскости орбиты, используется представление, что движение происходит по условному вращающемуся эллипсу. Сама же траектория, конечно, неподвижна, и смещение есть просто угловое расстояние между соседними повторяющимися участками – петлями. На рисунках 4 и 5 смещение перицентра эллиптической орбиты показано в сильно преувеличенном, по сравнению с реальным смещением планетарных орбит, виде.

Рис. 4. Прямое смещение (перицентра) эллиптической орбиты.

Рис. 5. Обратное смещение (перицентра) эллиптической орбиты.

            В рассматриваемой обобщённой теории, движение изначально, даже в идеальном случае движения единственной материальной точки, в общем случае, происходит не по неподвижному, а по вращающемуся коническому сечению. Смещение заложено в само уравнение траектории. За смещение ответственен единственный параметр, которым уравнение траектории в обобщённой теории отличается от уравнения траектории в теории Кеплера-Ньютона – множитель i при угловом аргументе φ, который мы назовём параметром смещения.

            Найдём смещение перицентра эллиптической орбиты в нашей обобщённой теории. Уравнение траектории, (1.22) или (1.24), позволяет получить выражение для смещения почти без вычислений. Смещение перицентра связано с периодичностью функции r(φ) задающей траекторию движения, а именно с тем, что её период, T, совпадающий с периодом функции

f (φ)= sin(iφ),

в отличие от периода функции

g(x) = sin(x),

не равен целому обороту, 2π. Отличие периода функции r(φ) от полного оборота и есть искомое смещение:

 

Δφ = T – 2π.

(3.1)

Найдём период функции  f (φ). По определению, если для функции  f (φ) существует такое число T, что для любого значения аргумента φ справедливо

f (φ) = f (φ + T),

то функция  f (φ) периодична с периодом T. Согласно этому определению, для искомого периода функции  f (φ) должно быть верно

f (φ) ≡ sin(iφ) = sin(i(φ + T)).

С другой стороны, для функции g(iφ) верно

g(iφ) ≡ sin(iφ) = sin(iφ + 2π).

Поэтому

sin(i(φ + T)) = sin(iφ + 2π),

i(φ + T) = iφ + 2π,

iφ + iT = iφ + 2π,

iT = 2π,

 

(3.2)

Отсюда для смещения имеем

 

(3.3)

Смещение перицентра можно вычислить и по-другому. Период функции r(φ) есть угол, который тело опишет вокруг центра тяготения от условного начала движения до первого его возвращения в ту же точку орбиты – например, при изменении расстояния от перицентра до апоцентра и вновь до перицентра. Тогда смещение будет равно разности удвоенного интеграла «φ(r) от p до а» с 2π:

 

(3.4)

Так как

то

Как и следовало ожидать, мы пришли к тому же выражению, что получено выше из периода функции  f (φ) = sin(iφ).

            На рисунках 6, 7 и 8 приведены примеры гипотетических «экзотических» орбит с экстремально большим смещением: –1/3, –1/2 и +1 оборот за период. Графики разделены на периоды, выделенные цветом. Периоды, конечно, могут начинаться в любой точке кривой. На графиках периоды имеют естественное начало – начало первого (синего) периода совпадает с началом графика.

Рис. 6. Смещение на (–1/3)·3 = –1 оборот за 3 периода, составляющих 2 оборота, i = 1,5.

Рис. 7. Смещение на (–1/2)·2 = –1 оборот за 2 периода, составляющих 1 оборот, i = 2.

Рис. 8. Смещение на 1 оборот за 1 период, составляющий 2 оборота, i = 0,5.

            Зная период обращения, T, можно вычислить смещение перицентра орбиты за данное время, t, например за столетие. Смещение перицентра за время t составит:

 

(3.5)

Подставляя сюда выражение для периода, (2.6),

получим:

 

(3.6)

4. Модели тяготения

            Поскольку полученное нами уравнение траектории движения (1.24) оказалось общим, пригодным как для ограниченных, так и для неограниченных траекторий, то и соответствующее уравнение орбитальной скорости, (1.16):

 

(4.1)

где , также является общим уравнением скорости, пригодным для скоростей любого типа, как эллиптических, так и параболических и гиперболических. (В случае параболической скорости, когда v = 0, a = ∞, уравнение становится неопределённым. Но мы, тем не менее, считаем это уравнение общим. Параболическая скорость является пределом как эллиптических, так и гиперболических скоростей, при v → 0 и a → ∞. Для рассматриваемых нами моделей тяготения этот предел становится определённым, и неопределённость уравнения исчезает.) Мы называем уравнение скорости функцией скорости, подразумевая, что она определяет соответствующее поле скорости.

            Применяя к общей функции скорости (4.1) наше правило вычисления гравитационного ускорения:

получаем общее представление гравитационного ускорения:

 

(4.2)

            Уравнение (4.1) описывает множество функций скорости, зависящее от четырёх параметров a, p, w и L, где каждая из функций скорости определяет некоторую траекторию (точнее, целый класс траекторий с общим набором параметров, но разным положением в пространстве). Связав параметры a, p, w, L некоторой функциональной зависимостью с параметрами поля тяготения, или, точнее, среды, к которым мы относим параметр центрального тела и глобальный кинетический потенциал, GM и C, можно определить конкретную модель тяготения.

То есть, положив

где A(GM, C) и B(GM, C) – некоторые функции параметров GM, C, мы можем записать функцию скорости (4.1) в виде:

 

(4.3)

где пара функций A и B будет определять конкретную модель тяготения.

Например, положив

получим функцию скорости:

дающую, как мы знаем, классическую модель тяготения.

            Общей функции скорости (4.3) соответствует общее представление гравитационного ускорения:

 

(4.4)

            Рассмотрим, какую роль функции A и B, которые мы назовём определяющими функциями модели тяготения, играют в определяемых ими моделях.

            1. Функция B. Из равенства

следует

откуда для параметра смещения i получаем равенство

 

(4.5)

Таким образом, функция B ответственна за смещение (вращение) перицентра траектории. При B = 0 смещение отсутствует.

            То, что для наличия смещения перицентра орбиты необходимо и достаточно, чтобы ускорение имело добавку обратно пропорциональную третьей степени расстояния (что равносильно тому, что B ≠ 0) знал ещё Ньютон. В своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии» он выразил это следующим образом: «Разность сил, заставляющих двигаться одно тело по неподвижной орбите, другое по такой же орбите, но равномерно вращающейся, обратно пропорциональна третьей степени расстояния этих тел до центра».

            2. Функция A. Выразим из равенства

w(a + p) = A

квадрат остаточной скорости:

и подставим в уравнение (4.3):

 

(4.6)

При B = 0, вращение перицентра траектории отсутствует. Поэтому из равенства (4.6) следует, что функция A определяет динамические характеристики движения по невращающемуся коническому сечению (во вращающейся системе отсчёта (r, )) – при одних и тех же геометрических параметрах траектории, a и p, орбитальная скорость будет тем выше, чем выше будет значение функции A.

            Итак, мы видим, что путём выбора определяющих функций A и B могут быть построены различные по своим характеристикам модели тяготения. Особенно важно, что подходящим выбором функции B может быть достигнуто любое, наперёд заданное, смещение перицентра заданной орбиты.

5. Новая модель тяготения

            Долгое время всемирный закон тяготения Ньютона считался абсолютно точной теорией, идеально согласующейся с действительностью. Триумфом классической теории тяготения стало открытие в 1846 году «на кончике пера» новой планеты – Нептуна. Вскоре, однако, было обнаружено первое расхождение теории с опытом. В 1859 году французский астроном Урбен Леверье обнаружил, что перигелий Меркурия смещается несколько быстрее, чем следует из теории. По современным данным разница составляет около 43″ за столетие.

            Имеющееся несогласие классической теории с опытом ставит задачу отыскания такой модели тяготения, которая сохраняя достоинства классической модели, устраняла бы её недостатки, т.е. более точной новой модели тяготения. Новая модель тяготения должна устранить аномальное смещение перицентров небесных тел, и в первую очередь перигелия Меркурия и других планет. В то же время, новая модель тяготения в нормальных условиях (т.е. её гравитационное ускорение на поверхности Земли) не должна сколько-нибудь существенно отличаться от классической модели.

            Из общего представления скорости (4.3),

следует, что проблема состоит в отыскании соответствующей указанным требованиям пары функций A и B. Обратимся теперь к решению данной проблемы.

            1. Функция A. Первая определяющая функция классической модели тяготения,

A = 2GM,

т.е. функция, соответствующая, определяющему равенству

w(a + p) = 2GM,

может быть оставлена без изменений – нет никаких требований к модели, заставляющих изменить её. Тогда функции скорости и ускорения примут вид:

 

(5.1)

 

(5.2)

и проблема сводится к отысканию второй определяющей функции – функции B.

            2. Функция B. При поиске вида функции B, мы исходим из представления об общности материи – того, что и свет и вещество представляют собой колебания протоматерии, с той лишь разницей, что в одном случае это распространяющиеся колебания, а в другом локализованные. Мы предполагаем, что скорость движения вещества, так же, как и скорость света, зависит не только от гравитационного потенциала u(r), но и от глобального потенциала C тоже. Поэтому мы будем искать добавочное третье слагаемое функции (5.1) в виде функции от потенциалов u(r) и C. (Для краткости мы опускаем в названиях потенциалов определение кинетический.)

            Здесь мы воспользуемся тем, что если заранее известны физические величины, участвующие в некотором процессе, то вид функциональной зависимости связывающей эти величины может, при дополнительных предположениях, быть установлен, с точностью до некоторого коэффициента, с помощью анализа размерностей.

            Мы будем искать добавочное слагаемое функции скорости в виде произведения, или, что то же, в виде отношения, степеней потенциалов (с калибровочным коэффициентом n):

            Сравнивая степени расстояния r в левой и правой части, заключаем, что x = 2.

            Все слагаемые в уравнении (5.1) должны иметь одинаковую размерность – размерность его левой части и других известных слагаемых, т.е. размерность квадрата скорости, м²/с². Так как потенциалы u(r) и C имеют размерность квадрата скорости, а x = 2, то отношение степеней потенциалов будет иметь нужную размерность квадрата скорости при y = 1. Что легко проверить непосредственно:

            Таким образом, мы приходим к следующему добавочному слагаемому:

 

(5.3)

и соответствующей функции B:

 

(5.4)

и получаем для искомой модели тяготения определяющие равенства:

 

w(a + p) = 2GM,

(5.5)

 

(5.6)

Функция скорости (4.3) и гравитационное ускорение (4.4) получают, при сделанных предположениях, представление:

 

(5.7)

 

(5.8)

 

(5.9)

или, в виде с потенциалами:

 

(5.10)

 

(5.11)

            Разным значениям калибровочного коэффициента n будут соответствовать разные модели тяготения, поэтому можно ввести для этих моделей обозначение M (n). Коэффициент n можно рассматривать тогда как параметр или номер модели. Вот несколько примеров:

M(0):

– классическая модель тяготения,

M(1):

– пробная модель тяготения,

M(3):

– третья модель тяготения,

M(π):

– модель «пи».

            Заметим, что гравитационное ускорение в пробной модели M (1) имеет, среди всех моделей, кроме, конечно, модели M (0), наиболее простое представление:

 

(5.12)

 

(5.13)

а также

 

(5.14)

поскольку из уравнения скорости света

следует, что

            Отношение кинетических потенциалов на поверхности Земли очень мало:

Поэтому из представления гравитационного ускорения (5.11),

очевидно, что модели M(n) с небольшим n имеют гравитационное ускорение, мало отличающееся от гравитационного ускорения классической модели, и являются кандидатами в претенденты на роль более точной новой модели тяготения.

            Из определяющего равенства (5.6) имеем:

и, следовательно,

 

(5.15)

где

фокальный параметр орбиты,

 

кинетический потенциал поля тяготения в точке фокального параметра.

Следовательно, смещение перицентра орбиты за период в моделях M (n) будет равно:

 

(5.16)

            Общая формула для смещения перицентра орбиты за время t,

подстановкой выражений для периода обращения,

и смещения за период, Δφ, из формулы (5.16) приводится к виду:

 

(5.17)

Формула (5.17) позволяет по смещению перигелия Меркурия найти во множестве моделей M (n) модель, дающую нужное смещение и могущую, поэтому, претендовать на роль новой модели тяготения.

            Но прежде чем мы обратимся к этой задаче, мы выясним, как влияет на величину смещения номер модели. Из формулы (5.16) можно получить для смещения приближённую формулу, которая интересна не сама по себе, а тем, что из неё видно, какое влияние на величину смещения оказывает номер модели, n. Выведем эту приближённую формулу.

            Для произвольной малой величины x верно приближённое равенство

в частности верно равенство

Поэтому, вследствие малости, при нормальных условиях, значения выражения

входящего в формулу (5.16), верно приближённое равенство

 

(5.18)

Аналогичным образом из формулы (5.17) получается приближённая формула смещения за время t:

 

(5.19)

где, согласно (5.5),

 

(5.20)

Из приближённых формул (5.18), (5.19) следует, что смещение перицентра орбиты приблизительно пропорционально величине номера модели, n.

            Итак, в классической теории тяготения Ньютона имеется отставание теоретического значения смещения перигелия Меркурия (происходящего в прямом направлении, т.е. в том же направлении, в каком планета вращается вокруг Солнца по своей орбите) от его реального значения – отставание, равное, по современным данным, 43'' в столетие. Точная модель тяготения должна давать (в невозмущённом, под влиянием других планет, поле тяготения) изначальное смещение перигелия, равное этому отставанию, и поэтому, в итоге полностью устраняющее отставание.

            Обратимся теперь к вычислению значения смещения перигелия Меркурия за столетие в нашей пробной модели M (1). Соберём нужные для вычисления данные.

Имеем:

 G = 6,67384·10-11 м³/с²/кг

гравитационная постоянная,

= 89875517748551716 м²/с²

квадрат остаточной скорости света,

 M = 1,9891·1030 кг

масса Солнца,

 p = 46001009000 м

перигелий Меркурия,

 a = 69817445000 м

афелий Меркурия,

 t = 100·365,2564·24·60·60 = 3155815296 с

секунд в столетии.

Подставляя эти данные в точную или приближённую формулу, (5.17) или (5.19), получаем для смещения перигелия Меркурия в пробной модели тяготения значение:

M(1): ΔφМерк.(100 лет) = 14,333'',

которое значительно меньше нужного значения 43'', но удивительным образом почти точно совпадает с одной третью от 43''. Зная, что смещение пропорционально номеру модели, можно заранее сказать, что нужное значение смещения даст модель M (3). Действительно, вычисление даёт:

M(3): ΔφМерк.(100 лет) = 42,999''.

            Итак, в модели тяготения M (3) изначальное смещение перигелия Меркурия практически точно совпадает с нужными 43'' в столетие, и расхождение с данными наблюдений полностью устраняется. Поэтому мы будем считать модель тяготения M (3), имеющую следующие уравнения скорости и гравитационного ускорения:

 

(5.21)

 

(5.22)

или в виде с развёрнутой записью потенциалов:

 

(5.23)

 

(5.24)

претендентом на новую модель тяготения.

6. Тестирование новой модели тяготения

            Чтобы новая модель тяготения действительно могла претендовать на это звание, одного совпадения недостаточно. Поэтому нам следует протестировать нашу модель и на других данных наблюдений. В первую очередь, это данные наблюдений других планет Солнечной системы. Результаты вычислений смещения перигелия для планет Солнечной системы в моделях M (3) и M (π), а также результаты ОТО и данные наблюдений, показаны в следующей таблице:

Планета

M(3)

M(π)

ОТО

Из наблюдений

  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
10

Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Икар, астероид

42,999
  8,628
  3,840
  1,351
  0,062
  0,014
  0,002
  0,001
    0,0004
10,060

45,029
  9,036
  4,022
  1,415
  0,065
  0,014
  0,002
  0,001
    0,0004
10,535

43,0
  8,6
  3,8
    1,35





10,1

43,1 ± 0,5
  8,4 ± 4,8
  5,0 ± 1,2
  1,1 ± 0,3





  9,8 ± 0.8

            Как видим, для модели M(3) имеется практически точное совпадение с результатами ОТО, и неплохое совпадение с результатами наблюдений.

            Совпадение значений смещений в M(3) с результатами ОТО, которое мы видим в таблице, имеет простое формальное объяснение. Если сравнить известную формулу смещения перицентра орбиты в ОТО:

 

(6.1)

где

– большая полуось орбиты,

 

– эксцентриситет орбиты,

с приближённой формулой смещения в M(3), (5.18):

 

(6.2)

где

– фокальный параметр орбиты,

то нетрудно заметить, что они почти совпадают, имея лишь небольшое, практически несущественное, отличие: . Действительно,

а отношение квадратов двух констант скорости света,

близко к единице, поэтому значения, вычисленные по формулам (6.1) и (6.2), отличаются несущественно.

            Следует, конечно, проверить модель также и в случае других центральных тел. Однако данных об орбитах тел в поле тяготения центральных тел отличных от Солнца, которые можно было бы квалифицировать как данные наблюдений, в настоящее время, по-видимому, не существует. Имеющиеся данные являются лишь расчётными, сделанными в теории тяготения ОТО, и основаны на интерпретациях неизвестной степени достоверности.

7. Закон сохранения энергии

            Как мы выяснили рассматривая теорию кеплерова движения, функция скорости представляет закон сохранения энергии в виде с удвоенной удельной энергией. То же справедливо и для функции скорости (5.7) задающей наше множество моделей M (n):

Произведём над этим уравнением следующие преобразования:

            1. Перегруппировав его члены в соответствии с привычным порядком членов в законе сохранения энергии, T + U = E:

 

(7.1)

получим закон сохранения энергии в виде с удвоенной удельной энергией.

            2. Разделив это уравнение на 2, получим закон сохранения энергии в виде с удельной энергией:

 

(7.2)

            3. И наконец, мы можем умножить полученное уравнение  на массу тела m:

 

(7.3)

получив при этом закон сохранения энергии в обычном виде, с энергией тела.

            В нашей теории тяготения мы рассматриваем только активную массу – массу центрального тела, M, которая создаёт поле тяготения, и не рассматриваем пассивную массу – массу тела, m, поскольку тела любой массы, которые могут быть приняты за материальную точку, ведут себя в поле тяготения одинаково. Из трёх приведённых вариантов записи закона сохранения энергии мы предпочитаем второй вариант – с удельной энергией, как наиболее информативный. В указанном втором варианте записи закона сохранения энергии его члены означают:

      1.

– удельная кинетическая энергия,

      2.

– удельная потенциальная энергия.

      3.

– удельная полная энергия.

            Потенциальная энергия в наших моделях тяготения получает, в сравнении с моделью Ньютона, небольшую добавку. Гипотеза о происхождение этой добавки изложена в главе «Механизм движения вещества».

8. Сводка формул

 

Наименование

Формула

1

Уравнение скорости света

2

Уравнение скорости вещества

3

Уравнение орбитальной скорости

4

Гравитационное ускорение

5

Уравнение траектории

6

Эксцентриситет

7

Фокальный параметр

8

Остаточная скорость

9

Период обращения

10

Момент скорости

11

Обратный параметр смещения

12

Параметр смещения

13

Смещение перицентра (за период)

14

Смещение перицентра за время t

15

Закон сохранения энергии

Примечание. В квадратных скобках даны формулы, не зависящие от параметра n, и, следовательно, одинаковые во всех моделях.

 

На главную

дальше: