4. Приложения и дополнения

1. Траектория спутника «чёрной дыры» OJ 287

            «OJ 287 представляет собой двойную систему чёрных дыр, бо́льшая из которых имеет массу равную 18 миллиардам масс Солнца, фактически массу небольшой галактики. Меньший компаньон весит как 100 миллионов масс Солнца. Период его обращения составляет 12 лет».

            Этот объект интересен своим огромным, по сравнению с обычным, смещением периастра, который составляет около 39 градусов за один оборот. Такое смещение, в отличие от смещения, например, перигелия Меркурия, можно уже показать графически.

            До сих пор мы имели дело с ограниченной задачей двух тел – движением материальной точки в центральном поле тяготения. В данном же случае массы взаимодействующих тел сопоставимы. Такая задача называется задачей двух тел, и её решение несколько отличается от решения ограниченной задачи двух тел. Решение задачи двух тел состоит в следующем:
            1). Решается ограниченная задача двух тел для условного центра тяготения и условной материальной точки в его поле, таких, как будто одно (второе) тело отдало свою массу другому (первому). Здесь движение происходит в системе координат связанной с условным центром тяготения (т.е. с одним из тел), масса которого равна суммарной массе тел. Такую систему координат называют относительной. Результатом решения задачи является описание движения одного тела относительно другого в этой системе отсчёта.
            2). Относительное движение тела (т.е. движение условной материальной точки в относительной системе координат) с помощью коэффициентов приведения, преобразуется в движение тел в системе координат, связанной с общим центром масс, которую называют барицентрической. Делается это для каждого тела по-отдельности, с помощью формул:

где

 r

расстояния в относительной системе координат,

 

расстояния в барицентрической системе координат,

 

коэффициент приведения для тела 1,

 

коэффициент приведения для тела 2.

(См.: М.А. Айзерман. Классическая механика, Гл. III, § 7, 4. Задача двух тел; или Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика, Том 1, Механика, Гл. III, § 13. Приведенная масса.)

            Вычислим параметры орбиты меньшего компаньона исходя из следующих данных:

 G = 6,67384·10-11 м³/с²/кг

гравитационная постоянная,

= 89875517748551716 м²/с²

квадрат остаточной скорости света,

 MС = 1,98892·1030 кг

«солнечная масса»,

 M1 = 18·109·MС кг

масса первой «чёрной дыры»,

 M2 = 108·MС кг

масса второй «чёрной дыры»,

 M = M1 + M2  = 181·108·MС кг

масса центра масс,

 T = 12·365,2564·24·60·60 = 378697835,52 с

период обращения,

 Δφ = 39/180 π = 0,6806784083

смещение периастра за период.

            1. Траектория в модели MV (3). Для нахождения параметров орбиты в уточнённой модели MV (3) составим следующую систему уравнений с двумя неизвестными, a и p:

Подставляя численные данные и решая систему получаем:

a = 3724549·109,        p = 393225·109,

откуда получаем параметры траектории:

Подставляя найденные параметры в символьное уравнение траектории

получаем числовое уравнение

дающее траекторию, показанную на рисунках 12, 13.

Рис. 12. Орбита меньшего компаньона в паре чёрных дыр OJ 287. Смещение составляет 39° за (двенадцатилетний) период.(Для показа или отмены анимации щёлкните на рисунке. Дождитесь загрузки анимированного рисунка – 1,6 Мбайт.)

Рис. 13. Один слой лепестков образующейся «розетки», имеющей диаметр 2a ≈ 7,5·1015 м ≈ 0,79 св. года, проходится за 108 лет. (Для смены изображения щёлкните на рисунке.)

Примечание: поскольку коэффициент приведения для меньшего компаньона близок к единице: k2 = 0,9945, то приведение к центру масс мы опускаем.

            2. Для сравнения построим траекторию и в модели M (3). Для нахождения параметров орбиты составим систему уравнений с двумя неизвестными, a и p:

Решение этой системы даёт:

a = 3730174·109,        p = 387600·109,

что заметно отличается от результата модели MV (3):

a = 3724549·109,        p = 393225·109,

откуда получаем и параметры траектории:

отличающиеся от результата модели MV (3):

(Значение параметра смещения то же самое, поскольку смещение является исходным данным.) Подставляя найденные параметры траектории в символьное уравнение траектории, получаем уравнение

которое даёт траекторию визуально почти идентичную траектории в MV (3). (Для того чтобы отличие всё же стало заметным, изображение траектории показывается на том же рисунке 13, что и траектория в MV (3). Для смены изображения щёлкните на рисунке – это даёт возможность заметить различие в траекториях.)

2. Траектория луча света

            Наша следующая цель – получение уравнения траектории луча света в поле тяготения, и оценка величины искривления этого луча.

            Функция скорости вещества в модели тяготения Ньютона,

 

(8.1)

если в ней положить скорость v равной скорости света, переходит в функцию скорости света:

 

(8.2)

Поэтому нет необходимости выводить отдельно уравнение траектории света – уравнение траектории движения вещества:

 

(8.3)

где a и p – максимальное и минимальное расстояние от центра тяготения, а e и f  – эксцентриситет и фокальный параметр траектории,

 

(8.4)

пригодно и для света.

            Приведённые уравнения непосредственно применимы в случае, если параметры a и p, или e и f, известны. Для траектории света эти параметры следует определить из начальных условий, в качестве которых можно рассматривать начальную скорость, т.е. скорость и направление света в некоторой начальной точке.

            Заметим, что искомое уравнение траектории луча света есть уравнение гиперболы, для которой параметр a отрицателен. Для любого тяготеющего тела скорость света на расстоянии равном или большем радиуса тела будет больше скорости освобождения и, следовательно, будет гиперболической скоростью. С увеличением скорости до скорости освобождения, параметр a, т.е. максимальное расстояние от центра тяготения, растёт до бесконечности. С превышением скорости освобождения, т.е. для гиперболических скоростей, параметр a становится отрицательным.

            Для вещества (в случае эллиптической скорости, который, однако, обобщается и на другие скорости) выражение параметров a и p через начальные условия представляют корни уравнения, приравнивающего радиальную скорость к нулю,

Возведением в квадрат получаем:

Подставив сюда функцию скорости (8.1), получаем уравнение:

Введём для краткости обозначения:

тогда уравнение запишется как:

Раскрыв скобки, получаем квадратное уравнение:

Решая его, получим:

 

(8.5)

Поскольку для света

v(r) = c(r),

то здесь

Обозначив для краткости (путаницы не будет, т.к. здесь используются только c(r) и)

запишем равенства (8.5) как

 

(8.6)

Если теперь на некотором начальном расстоянии r0 от центра тяготения луч света составляет с вертикалью угол α, то квадрат момента скорости света будет равен:

 

(8.7)

Подставив сюда выражение для скорости света,

получим для момента скорости света выражение

 

(8.8)

Подставляя теперь это выражение в равенства (8.6), получим для параметров a и p выражения:

 

(8.9)

 

(8.10)

            Выразим через начальное расстояние и направление параметры e и  f .

Обозначим для краткости:

тогда

В итоге получаем для эксцентриситета и фокального параметра выражения:

 

(8.11)

 

(8.12)

Подставляя теперь полученные выражения в уравнение траектории (8.3), мы можем получить траекторию света для любого начального расстояния r0 и направления α.

            Если луч света имеет на некотором расстоянии r0 от центра тяготения горизонтальное направление, то

и расстояние r0 есть ближайшее расстояние от центра тяготения, т.е.

Тогда

Т.е. для эксцентриситета и фокального параметра луча проходящего на расстоянии p от центра тяготения верны выражения:

 

(8.13)

 

f  = p(1 + e).

(8.14)

            Величину искривления луча света можно оценить по углу между асимптотами гиперболы. Действительно, отличие одной ветви гиперболы от прямой линии состоит в том, что асимптотическое направление одной половины ветви не совпадает с асимптотическим направлением другой половины – асимптоты образуют угол – угол изгиба гиперболы.

            Выражения для угла между асимптотами гиперболы можно получить следующим образом. В декартовой системе координат всякая гипербола может быть представлена своим каноническим уравнением:

где b² = c² – a², c > a,

       а  – действительная полуось гиперболы,

       b  – мнимая полуось гиперболы,

       2с – расстояние между фокусами гиперболы.

Обратим внимание, что здесь параметры a, b и c имеют временно значение отличное от их значения в остальной части текста.

            Фокусы гиперболы заданной каноническим уравнением лежат на оси x, и гипербола расположена поперёк этой оси, поэтому углом изгиба гиперболы будет служить тот из двух углов между асимптотами, который содержит ось y.

Уравнения асимптот гиперболы заданной каноническим уравнением есть:

Из этих уравнений следует, что тангенс угла наклона асимптот к оси y равен:

и угол наклона к оси y равен:

Угол между асимптотами равен удвоенному их углу с осью y:

 

(8.15)

Известно следующее соотношение между длинами полуосей гиперболы и её эксцентриситетом:

следовательно:

Подставляя это выражение в равенство (8.15), получаем, для угла между асимптотами гиперболы выражение независящее от системы координат:

 

(8.16)

Вследствие малости этого угла, верно следующее приближённое равенство:

 

(8.17)

            Подставляя в последнее равенство выражение для e из равенства (8.13),

получим приближённое выражение для величины искривления луча света проходящего на расстоянии p от центра тяготения:

 

(8.18)

или, после обратной замены, k = 2GM, :

 

(8.19)

            Вычислим величину искривления луча звёздного света проходящего около поверхности Солнца. В этом случае равенство (8.19) запишется как

 

(8.20)

где

 G = 6,67384·10-11 м³/с²/кг

гравитационная постоянная,

 

 = 89875517748551716 м²/с²

квадрат остаточной скорости света,

 

 MС = 1,9891·1030 кг

масса Солнца,

 

 RС = 6,9551·108 м

радиус Солнца.

Подставив теперь в равенство (8.20) значения входящих величин, получим для величины искривления света звезды проходящего около поверхности Солнца следующее значение, в радианах:

γ = 0,0000042473,

или в угловых секундах:

γ = 0,0000042473·180/π·60·60 = 0,876''.

Рис.14. Луч света звезды, проходящий около поверхности Солнца
(разный масштаб по осям, искривление увеличено в 100000 раз).

Рис.15. Луч света вблизи поверхности Солнца в другом масштабе
(масштаб по осям по-прежнему отличается в 100000 раз).

3. Реабилитация Ньютона

            «Разность сил, заставляющих двигаться одно тело по неподвижной орбите, другое по такой же орбите, но равномерно вращающейся, обратно пропорциональна третьей степени расстояния этих тел до центра». И. Ньютон.

            Во времена Ньютона аномальное смещение перигелия Меркурия, т.е. аномальное, не объяснимое в ньютоновой теории тяготения влиянием других планет, вращение его орбиты, ещё не было открыто, поэтому неудивительно, что Ньютон не пытался как-то обобщить или уточнить свой закон всемирного тяготения.

            Наоборот, удивительно, что когда, после открытия в 19-м веке аномального смещения перигелия Меркурия, стали предприниматься попытки модификации ньютонова закона тяготения, то, несмотря на то, что благодаря Ньютону уже было известно, что к вращению орбиты приводит добавка обратно пропорциональная третьей степени расстояния, искались и другие способы модификации закона тяготения.

            Более того, известный американский астроном Саймон Ньюком даже заявил: «Член, обратно пропорциональный третьей степени расстояния, который на расстоянии Меркурия вносит вклад, равный всего лишь миллионной доле общей силы притяжения Солнца, на расстоянии фута должен быть в двести тысяч раз больше члена, обратно пропорционального квадрату расстояния. Учет членов более высокого порядка лишь усилит противоречие. Существование "поправок" такой величины можно даже и не обсуждать».

            Н. Роузвер, автор книги «Перигелий Меркурия. От Леверье до Эйнштейна», принял это утверждение Ньюкома за чистую монету: «Этот аргумент исключительно силен. Эксперименты дают хорошее согласие относительных величин гравитационной силы как на больших расстояниях, где она управляет движением планет, так и на очень малых, того же порядка, что и в опыте Кавендиша. И если в закон обратных квадратов ввести член третьего порядка, дающий требуемое смещение перигелия, то сила притяжения двух свинцовых шаров окажется значительно большей, чем сила, слегка закручивающая торсионную нить в опыте Кавендиша. Именно этим простым экспериментом и опровергается закон Клеро».

            Но Ньюком ошибался. Он учитывал расстояние, но упустил из виду массу. Например, масса свинцовых шаров в опыте Кавендиша на 28 порядков меньше массы Солнца. И это имеет решающее значение. В новом законе тяготения добавочный член, обратно пропорциональный третьей степени расстояния, в случае Меркурия равен в среднем 0,00000016 части ньютоновой силы тяготения, а для свинцовых шаров в опыте Кавендиша на расстоянии фута он равен всего 0,0000000000000000000000007 части ньютоновой силы притяжения шаров.

            Как бы там ни было, но, ни в 19-м, ни тем более в 20-м веке, когда махровым пустоцветом расцвела релятивистская схоластика, новый закон тяготения так и не был открыт. Сделано это было лишь недавно, в 2015 году.

            Закон гласит: гравитационное ускорение материальной точки, а значит и сила тяготения F = gm, не строго обратно пропорциональны квадрату расстояния от центра тяготения, а имеют небольшую добавку обратно пропорциональную кубу расстояния,

g = – GM / r² (1 + 6GM / c² / r),

которая приводит к вращению орбит космических тел в сильном поле тяготения, но не влияет на притяжение тел в нормальных условиях.

            Теперь в схоластических измышлениях о кривизне пространства нет никакой нужды. Движение планет точно описывается обновлённым классическим ньютоновым законом тяготения.

Литература

1.      Айзерман М. А.  Классическая механика. 1980

2.      Арнольд В. И.  Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. 1989

3.      Богородский А. Ф.  Всемирное тяготение. 1971

4.      Бутиков Е. И.  Закономерности кеплеровых движений. 2006

5.      Гуревич А. Я.  Категории средневековой культуры, гл. «Что есть время?». 1972

6.      Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.  Теоретическая физика, Том 1, Механика. 1988

7.      Роузвер Н. Т.  Перигелий Меркурия. От Леверье до Эйнштейна. 1985

8.      Сена Л. А.  Единицы физических величин и их размерности. 1977

9.      Субботин М. Ф.  Введение в теоретическую астрономию. 1968

* * *

На рисунке на главной странице – орбита спутника «чёрной дыры» OJ 287. (Для показа или отмены анимации щёлкните на рисунке. Дождитесь загрузки анимированного рисунка – 1,3 Мбайт. В настройках браузера должна быть включена анимация изображений.)

Владимир Браун, 2016